Un petit test de logique mathématique

Ok comme je vois que pas mal de monde n'a pas compris pourquoi 0.99999... n'est pas une écriture décimale valable, je vais faire "sur un exemple" la démonstration : je disais d'abord que pour un réel positif donné disons 2.5479, il existe une unique suite d'entiers(qui est ici en l'occurrence (2,5,4,7,9) tel que 2.5479 = 2 + 5*0.1 + 4*0.01 + 7 * 0.001 + 9*0.0001 ... Jusque là rien de bien sorcier ! ensuite je disais que 2 était la partie entière de 2.5479 (la définition se comprend bien, c'est l'entier "le plus proche par valeur inférieure", que l'on note [2.5479] ) et que l'on pouvait calculer toutes les décimales avec une formule , par exemple la seconde : 2e décimale = [100*2.5479] - 10*[10*2.5479] ce qui donne que la 2e décimale vaut : [254.79] - 10* [25.479] = 254 - 10*25 = 4 ... Pour la troisième décimale, la formule s'écrirait : 3e décimale = [1000*2.5479] - 10*[100*2.5479] soit [2547.9] - 10*[254.79] = 2547 - 10* 254 = 7 ... ensuite, je disais que l'on pouvait étendre cette définition pour des suites "infinies " c'est à dire, que l'on peut écrire 2.5479354... = 2 + 5 *0.1 + 4*0.01 + 7*0.001 + 9*0.0001 + 3*0.00001 + je vous laisse continuer... je disais ensuite que ce nombre je pouvais l'encadrer par : 2.5479354 =< 2.5479354... < 2.5479355 (inégalité de type (1) ) Pour le dernier résultat, je disais que si un nombre s'écrit sous forme décimale, on ne peut pas avoir une suite infinie de 9 à partir d'une certaine décimale : par exemple le nombre 2.5479999999.... n'est pas une écriture valable (tout comme 0.9999999....) voici la démo sur le nombre 2.547999999.... ATTENTION la démo est assez subtile quand même, mais l'esprit est le suivant : On suppose que le nombre 2.547999999.... est une bonne écrirture décimale, on va faire un petit raisonnement et aboutir à une contradiction avec ce que l'on sait être vrai.... Cela voudra dire que la supposition initiale était fausse : cela s'appelle le raisonnement par l'absurde... bref : ici (dans 2.547999...) , à partir de la 4e décimale, on a une "suite infinie " de 9 . on peut écrire que : considérons le début du nombre en s'arrêtant à 4 chiffres après le début de la suite des 9. Dans la décomposition (de définition), la dernière décimale s'écrira 9*0.000001... j'y ajoute 0.000001 cela donne : 2+5*0.1+4*0.01+7*0.001+9*0.001+9*0.0001+9*0.00001+9*0.000001+0.000001 = 2+5*0.1+4*0.01+7*0.001+9*0.0001+0.0001 je recommence en m'arrêtant cette fois ci à 6 chiffres après le début de la suite des 9 : j'y ajoute cette fois ci 0.00000001 et j'obtiens : 2+5*0.1+4*0.01+7*0.001+9*0.001+9*0.0001+9*0.00001+9*0.000001+9*0.0000001+9*0.00000001+0.00000001 = 2+5*0.1+4*0.01+7*0.001+9*0.0001+0.0001 J'obtiens toujours le même résultat en fait en m'arrêtant à n'importe quelle décimale après le début de la suite des 9 par cette méthode soit : 2+5*0.1+4*0.01+7*0.001+9*0.0001+0.0001 Donc, par passage à la limite (+oo) si je garde une infinité de décimale après le début de la suite de 9, j'obtiens : 2.5479999.... = 2+5*0.1+4*0.01+7*0.001+9*0.0001+0.0001=2.5479+0.0001=2.548 (*) or si j'écris maintenant une inégalité de type (1) pour 2.54799.... j'écris : 2.4579 =< 2.457999....< 2.458 : or si je garde seulement l'inégalité de droite j'ai : 2.457999....< 2.458 or j'ai montré en (*) que 2.457999.... = 2.548 en remplaçant dans ce qui précède j'ai donc : 2.458 < 2.458 ce qui est absurde car l'inégalité est stricte... Donc je ne peux pas supposer que 0.5479999.... est une bonne écriture décimale ... Il en est de même pour 0.9999....

D'apres ce que j'ai lu dans les pages précédentes tu n'a pas le droit d'écrire a=0.999... car 0.999... n'est pas une écriture acceptable de ce nombre qu'il faut plutot écrire sous la forme d'une suite geometrique.

Tu résumes bien ici la situation : la démo : On appelle a le nombre 0.999999999999... etc. On pose 10a = 9.9999999999999999999.... Donc : 10a = 9 + a 10a - a = 9 9a = 9 a = 1 0.999999999999999999999999999... = 1 est mathématiquement incorecte... en fait une démonstration propre est d'écrire "0.999...." = (au sens strict) 9* (0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+...) = 9* 0.1/(1-0.1) (calcul d'une série géométrique de raison 0.1) ... or 9*0.1/(1-0.1) = 1 D'où le résultat : "0.9999...." = 1 ... je mets des " " pour bien préciser là que c'est un écriture "impropre"... ————————————————————— Pour ceux qui disent que seul 1=1 et rien d'autres, voici quelques petits résultats qui montrent que bien des choses valent 1 ... mais écrites de manière non décimale évidemment : 0.99999.... = 1 cos²x+sin²x = 1 quelque ssoit x réel. ln(e) = 1 exp(0) = 1 cos(2*pi) = 1 tan( Pi/4) = 1 cosh(0) = 1 1/3* sqrt(1+2sqrt(1+3sqrt(1+4sqrt(1+5sqrt(1+6sqrt(1+7sqrt1+...)))))))) = 1 2/5* Produit sur P premiers différent de 1 de (p²+1)/(p²-1) = 1 ... etc. _________________ « Deux choses sont infinies : l'Univers et la bêtise humaine. Mais je ne suis pas sûr de ce que j'affirme au sujet de l'Univers. » — Albert Einstein

[ Edité par chaudakh Le 27 jan 2005 ]

ou 6zeta(2)/pi²

Le 27/01/2005, smc avait écrit ...

ou 6zeta(2)/pi²

ouais, ok, mais 99% des gens ne connaissent pas zeta(x)=Sum(n^(-x), n=1,+oo), x>1 on peut continuer si tu veux avec 90 zeta(4)/Pi^4 ou 945 zeta(6)/Pi^6 ou encore 9450 zeta(8)/Pi(8) ... tu auras bien sur noté que le résultat 2/5* Produit sur P premiers différent de 1 de (p²+1)/(p²-1) = 1 incluait déjà ta proposition, ainsi que les miennes... (là on noit tout le monde) _________________ « Deux choses sont infinies : l'Univers et la bêtise humaine. Mais je ne suis pas sûr de ce que j'affirme au sujet de l'Univers. » — Albert Einstein

[ Edité par chaudakh Le 27 jan 2005 ]

1/ln(2pi)(zeta'/zeta)(0) ok j'arrete, je vais me coucher

[ Edité par smc Le 27 jan 2005 ]

Le 27/01/2005, chaudakh avait écrit ...

tu auras bien sur noté que le résultat 2/5* Produit sur P premiers différent de 1 de (p²+1)/(p²-1) = 1 incluait déjà ta proposition

n'empeche que ça m'avait beaucoup intrigué la première fois que tu m'as parlé de ça. Depuis, j'ai largement accru mes connaissances qur le sujet et ce résultat est assez trivial

Bon je comprend rien à vos démonstration, mais il doit certainement avoir une erreurs :

Un nombre n'es strictement égal qu'à lui même !
C'ets une loi Mathématique, on ne peut la contester.
C'est comme si on disait que 1 est égal à 1.11111111111111111[...]

1 + 0.99999999999[...] = 1.99999999999[...]
1 + 1 = 2
1 n'est pas égal à 0.999999999999[...]

Je voit pas pourquoi cherches plus loin ....

Le 27/01/2005, Anacronum avait écrit ...

Bon je comprend rien à vos démonstration, mais il doit certainement avoir une erreurs :

Un nombre n'es strictement égal qu'à lui même !
C'ets une loi Mathématique, on ne peut la contester.
C'est comme si on disait que 1 est égal à 1.11111111111111111[...]

1 + 0.99999999999[...] = 1.99999999999[...]
1 + 1 = 2
1 n'est pas égal à 0.999999999999[...]

Je voit pas pourquoi cherches plus loin ....

et si c'etait dans ton raisonnement qu'il y avait une erreur (sans s au passage)?
tu la sors d'où ta "loi Mathématique"?

jai bien envis de dire tc mais bon....

ah ah, vous avez aussi oublié que -(i²) = 1

Euh non là ça va trop loin...On est sur d'en largué beaucoup en route avec ce genre de détail... Pourquoi pas exp(i*Pi) pendant qu'on n'y est? (Si on doit expliquer qu'on utilise des nombres qui n'existent pas mais qu'en plus , on trouve des applications à l'utilisation de ces nombres , c'est pas évident pour tout le monde...d'ailleurs j'attend patiemment les réponses )

Bon je comprend rien à vos démonstration, mais il doit certainement avoir une erreurs : Un nombre n'es strictement égal qu'à lui même ! C'ets une loi Mathématique, on ne peut la contester. C'est comme si on disait que 1 est égal à 1.11111111111111111[...] 1 + 0.99999999999[...] = 1.99999999999[...] 1 + 1 = 2 1 n'est pas égal à 0.999999999999[...] Je voit pas pourquoi cherches plus loin ....

Je suis d'accord qu'un nombre n'est strictement égal qu'à lui même .... Mais bon il y a plein d'écritures différentes possibles pour un même nombre, non ? Par exemple, je peux écrire 1 = cos(0) non ? je peux aussi écrire 1= 0.5+0.5 oui ? je peux aussi écrire 1 = 0.5+0.25+0.2+0.05 ok ? Bon bah là c'est pareil : Je vais essayer d'être très très clair... au sens strict je peux écrire : "0.999...." = 9* (0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+...) On aura tous remarqué que 0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+... est la somme de la suite géométrique de raison 0.1 ... Là c'est niveau 1ère pour le calcul de cette somme : elle vaut : 0.1*1/(1-0.1) = 0.1/0.9 = 1/9 donc : "0.999...." = 9* 1/9 = 1 et là la démo est propre, et très claire... NB : d'après mon message de la page 12, je montre sur un exemple (démo théorique dispo page 4 ou 5) que 0.9999... est une notation "abusive" car ce n'est pas une écriture décimale correcte... mai bon écrire 9* (0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+...) est une notation correcte.

ah ah, vous avez aussi oublié que -(i²) = 1

Ok, mais bon, si 0.999... = 1 pose des difficultés aux gens, va pas les embrouiller avec le Dieu i pourquoi pas aussi (i^(-2i))/exp(pi) =1 en ayant pris la précaution de rappeler la définition du log principal (extension du logarithme népérien sur les complexes privés de la demi droite des réels négatifs) _________________ « Deux choses sont infinies : l'Univers et la bêtise humaine. Mais je ne suis pas sûr de ce que j'affirme au sujet de l'Univers. » — Albert Einstein

[ Edité par chaudakh Le 27 jan 2005 ]

Ah lala les matheux se vantent ici... par contre je suis d'accord avec chaudakh : comme il ne peut pas y avoir de nombre entre "0,999999999999999999..." et 1 , alors ces deux nombres sont égaux. On peut qualifier le nombre 0,9999999999999... comme la limite lorsque n->+infini de la suite u(n+1)=u(n) + 0,1u(n) et u(0)=0,9... enfin je crois, corrigez moi si je me trompe. De toute manière, rien ne vaut la bio bande d'adénosines-triphosphates

"u(n+1)=u(n) + 0,1u(n) et u(0)=0,9"

De façon plus simple :
u(n+1) = 1.1u(n) et u(0)=.9
Soit une suite géométrique de raison 1.1 et de premier terme 0.9
En calculant les premiers termes , on se rend compte que c'est pas tout à fait ça...

Merci Chaudakh j'ai compris ta definition d'un nombre decimal.
Cependant pour vos differentes ecriture de 1 l'ecriture -(i²)=1 ne me semble pas la plus difficile, en revanche en ce qui concerne P p sqrt et zeta ...
De toutes facon mon truc a moi c'est plutot les constantes d'equilibre.


DocNoob qui apprecie les les bizzareries mathematiques.

sqrt , c'est juste square root : racine carrée...