Topic pour te fracasser ta tête en t'amusant ;-)

début de raisonnement :

La somme des "..." est égale au nombre de chiffres en tout.
Il y a minimum 20 chiffres (2 par ligne).
Le minimum des "..." est 1.

- Peut-il y avoir des nombres à 3 chiffres ?
Un nombre à 3 chiffres indique qu'il y a au moins 100 chiffres en tout. Moins les 10 de droite, reste 90 chiffres à placer à gauche, soit une moyenne de 9 chiffres par "..." . Si on a des nombres à 9 chiffres, il y a des milliards de chiffres dans le paragraphe : irréaliste.
Donc pas de nombre à 3 chiffres.

- Peut-il y avoir plus d'un nombre à 2 chiffres ?
Si il y a plus de 9 fois le chiffre 0, c'est qu'au moins 9 autres "..." sont à 2 chiffres.
Prenons le minimum, donc : 10 fois le chiffre 1 et 10 fois le 2. Plus une fois le chiffre 0 (minimum), une fois le 3, ... une fois le 9 . Donc au total 28 chiffres dans le paragraphe. Moins 10 à droite, 18. Avec 18 chiffres dans les "...", ça fait au minimum 8 nombres à 2 chiffres dans les "..." . Avec 8 nombres à 2 chiffres, on arrives à 82 chiffres minimum dans le paragraphe, ce qui est impossible sans nombres à 3 chiffres.
Donc pas plus d'un nombre à 2 chiffres.

- Peut-il y avoir plus de 21 chiffres au total ?
Non, car si on a 22 chiffres (ou plus), on a minimum deux "..." à 2 chiffres
Donc le total des "..." est 20 ou 21.

- Peut-il y avoir plusieurs fois le chiffre 9 ?
Si il y a 3 fois ou plus le chiffre 9, alors le total des "..." est minimum de 26 (9+9+1+1+1+1+1+1+1+1) >21 : impossible.
Petit test : si il y a 2 fois le chiffre 9, il y a 9 fois un autre chiffre. Cet autre chiffre ne peut pas être supérieur à 2 (9x3=27, >21, etc...). Il est impossible d'avoir 9 fois le chiffre 2 également (tous les "..." seraient remplis par des 2 sauf un 9, donc la somme des "..." serait supérieure à 21.). 9 fois le chiffre 1 alors ? Si on a 2 fois le chiffre 9, alors on a minimum 2 fois le chiffre 2. On ne peut pas avoir "2 fois 9 et 2 fois 2" (on passerait à 3 fois 2). Avec 3 fois 2, on passe aussi à 2 fois 3 minimum. Au final, on a dans les "..." : un 9, un 3, deux 2, et sept 1. Au total, 23->impossible.
Si on avait neuf 0, il y aurait minimum 9 "..." à 2 chiffres, on a vu que c'était impossible.
Donc il y a une seule fois le chiffre 9.

- Peut-il y avoir plusieurs fois le chiffre 8 ?
Si il y a 3 fois ou plus le chiffre 8, alors le total est minimum de 24 (8+8+1+1+1+1+1+1+1+1)>21.
Avec deux 8 : il y a 8 fois un autre chiffre. Même raisonnement que pour 9, ça peut pas être huit 2+.
Avec huit 1 : on a "2 8", donc minimum "2 2", ce qui est impossible avec "2 8", donc "3 2", donc minimum "2 3". Malheureusement, on a 10 lignes, et parmi ces lignes "2 8", "3 2" et "2 3", il en reste 7, dans lesquelles on ne peut caser "8 1" que si on a un "11" quelque part. Or avec un 11, on atteint comme somme des "..." : (11+8+3+2+1+1+1+1+1+1)30 minimum, impossible (vu qu'on ne peut dépasser 21).
De même que pour 2 9, on ne peut pas avoir huit 0.
Donc il y a une seule fois le chiffre 8.



On arrive déjà aux conclusions :
- Minimum 1 partout
- Pas de nombre à 3 chiffres.
- Pas plus de 1 nombre à 2 chiffres
- Découle du précédent : pas plus de deux 0 .
- Somme des "..." =20 ou 21.
- Exactement un 9
- Exactement un 8

a suivre

[ Dernière modification par TheWretched le 27 fév 2009 à 15h15 ]

On a de bons spécialistes ici ... J'ai suivi le raisonnement mais j'aurai pas pu le pondre aussi simplement ...

Wretched >> Nice que tu aies commencer à débroussailler le terrain à la façon arithmétique, car c'est je pense comme ça qu'il convient de faire : c'est long et fastidieux, mais les preuves seront irréfutables.

Pour les recherches de solutions à chiffre unique dans la colonne à compléter :

Il y a donc au moins 3x le chiffre 1 (celui de l'énoncé et ceux devant 8 et 9)
Peut il y avoir exactement 3x le chiffre 1
Dans ce cas avec 7 slots de dispo, il ne faut mettre que des chiffres >=2.
Or 20-3-1-1 = 15 ...
La seule possibilité est de compléter avec 6x2 + 3. En effet si l'un des slots vaut plus de 4 alors nécessairement un autre vaudra 1, ce qui est contradiction avec le fait qu'ils sont plus grand ou égal à 2. Donc on s'aperçoit qu'on ne pourra jamais compléter les 7 slots avec que des 2 et un 3 tout en vérifiant qu'il y a deux 4 ou deux 5 etc...
Il ne peut donc pas y avoir exactement trois 1

Un raisonnement analogue montre qu'il ne peux pas y avoir exactement quatre 1 : on aurait à compléter 6 slots avec des coeff plus grand ou égal à 2 pour une somme totale de 13. la seule possibilité est encore 5*2 + 3, car sinon on dépasse nécessairement le nombre de 1, si l'un des coeff est plus grand ou égal à 4... Le 1 va nécessairement pour la ligne du 0, car on s'interdit dans cette partie les nombres à 2 chiffres (la somme des "..." vaut 20) Pour les mêmes raisons que précédemment, on ne pourra jamais vérifié qu'il y a deux 5 ou deux 6 en complétant tous les slots restant à l'aide de 2 et de 3 ...etc...

Le nombre de 1 vaut donc au moins 5, pour les solutions à 1 chiffre. ....un raisonnement analogue montrerait que le nombre de 1 vaut au moins 5 même pour la solution présentant un nombre à 2 chiffres.


Le nombre de 1 ne peut valoir exactement 5 : en effet dans ce cas (pour les solutions à 1 chiffres), on a 5 slots de dispo pour une somme de 11, et un slot pour le 1 qui reste.
Les seules possibilités pour obetnir 11 en 5 slors avec des coefficiens supérieurs ou égaux à 2 sont :
2+2+2+2+3
On va devoir dans le premier cas assigner 1 ou 2 ou 3 à la ligne du nombre de 2 or y'en a 5.

Dans le cas où un coefficient a 2 chiffres, alors on a 5 slots de dispo pour une somme de 12, et un slot pour le 1 qui reste.
Les seules possibilités pour obetnir 12 en 5 slors avec des coefficiens supérieurs ou égaux à 2 sont
2+2+2+2+4 ou 2+2+2+3+3
Dans les 2 cas, aucune des possibilités ne fonctionnent car on a aucun coefficient à 2 chiffres....


>> Donc le nombre de 1 est au moins 6 ....

Au final
1 x 0
>=6 x 1
... x 2
... x 3
... x 4
... x 5
... x 6
... x 7
1 x 8
1 x 9

Maintenant, si y'a au moins six 1, alors la somme des slots restants vaut au plus 11 (ou 12 pour une solution avec un coeff à 2 chiffres)
J'ai 4 slots à compléter pour une somme de 9 ou 10 (que 4 car y'a deux slots déjà réservés pour des 1)

comment faire 9 en 4 slots avec des nombres plus grands ou égaux à 2 ? :
2+2+2+3
J'ai donc le choix de mettre à la ligne comptant le nombre de 2 les coefficients, 1, 2 ou 3.. or il y en a 4 ... donc ça ne marche pas

pour une solution avec un coeff à 2 chiffres, je fais 10 avec 2+2+2+4 ou 2+2+3+3
j'ai aucun coeff à deux chiffres....

Le nombre de 1 vaut au moins 7 ....

[ Dernière modification par chaudakh le 27 fév 2009 à 17h45 ]

A partir de "somme des "..." <22", on arrive aussi à :

- Pas plus de 2 7 (avec 3 7 ou plus, on arriverait pour la somme des "..." à (7+7+1+1+1+1+1+1+1+1) 22 minimum )

- Pas plus de 3 6 (25 mini sinon)
- Pas plus de 3 5 (22 mini sinon)
- Pas plus de 4 4 (22 mini sinon)

shivanknight a montré que :
- Un seul 0
- Pas 10 1

On a donc également :

- 4 1 minimum (1 0, 1 8, 1 9 et X 1)
- Pas non plus 8 1 ni 9 1 (un seul huit et un seul neuf)

tests :
Si on a 3 6 : on 6 fois le chiffre X et 6 fois le chiffre Y : pour que ça tienne sur 10 lignes, il faut deux nombres à 2 chiffres : impossible.
Donc 2 6 maximum.

Si on a 3 5 : on en a 2 dans les "..." . On ne peut pas avoir un "55" quelque part, sinon la somme des "..." serait supérieure à 21. On a donc 5 fois X et 5 fois Y (X et Y différents de 5, vu qu'on n'a pas plus de 3 5). Mais on ne peut pas avoir dans les "..." à la fois deux 5, 5 X et 5 Y, pour un total de 12 chiffres, car on a maximum un "..." à 2 chiffres.
Donc maximum 2 5.

On remarque également que 2 ne peut pas être présent en plus de 6 exemplaires (si 2 était présent en 7 exemplaires, on aurait minimum (2+2+2+2+2+2+1+1+1+7) 22>21).

De même, 3 ne peut pas être présent en plus de 5 exemplaires (3+3+3+3+1+1+1+1+1+6 = 23>21)

Et on ne peut pas avoir plus de 11 1 ("12 1", ça fait un 1 par ligne et il reste un 1 de côté, or on ne peut pas avoir 2 "..." à 2 chiffres).

On a en fait
- 1 seul 0
- 1 seul 8
- 1 seul 9
- Nombre de 7 inférieur à 3
- Nombre de 6 inférieur à 3
- Nombre de 5 inférieur à 3
- Nombre de 4 inférieur à 5
- Nombre de 3 inférieur à 5
- Nombre de 2 inférieur à 7
- Nombre de 1 égal à 4, 5, 6, 7 ou 11
- La somme des nombres de 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 est égale à 17 ou 18, dont 1 minimum dans chaque, ce qui nous laisse 10 à 11 "points" à répartir entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Vu que 1 "prend" minimum 3 de ces "points", il en reste 8 maximum à répartir entre les autres.(je sais pas si ça avance à grand chose)

[edit]

Qu'est-ce qu'on peut avoir comme réponse avec 11 1 ?
Pour aller avec 11 1, il faut un autre chiffre supérieur à 1 exactement dans les "..." (un des 1 est dans l'énoncé, et il y a une ligne avec deux 1, ça laisse une ligne vide)
Au minimum, c'est 2. Avec 2, on a (1+11+2+1+1+1+1+1+1+1) 21. Toute autre combinaison (plus de deux 2, ou un seul 2 et deux 3 par exemple) donne un total supérieur à 21.

On a donc la solution donnée précédemment par Pingu1 comme seule solution avec un nombre à 2 chiffres (car seul 1 peut être en nombre supérieur à 9, et c'est forcément 11.)

Toutes les autres solutions sont avec des "..." à 1 chiffre, pour les autres solutions on peut donc considérer un nombre de 1 strictement supérieur à 4 (cf Chaudakh), et un nombre total de chiffres égal à 20.
Donc pour les autres solutions, on a :
- La somme des nombres de 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 est égale à 17, dont 1 minimum dans chaque, ce qui nous laisse 10 "points" à répartir entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Vu que 1 "prend" minimum 4 de ces "points", il en reste 6 maximum à répartir entre les autres.

[ Dernière modification par TheWretched le 27 fév 2009 à 17h07 ]

Putain c'est cauchemardesque ici !

Maitenant, je pense qu'on peut y aller a cas par cas ...

Imaginons qu'il y ait 2 7 .... Sachant qu'on a déjà dans la colonne de gauche un 1 pour le 0, un 1 pour le 8, un 1 pour le 9 et un 2 pour le 7 ... ça rajoutte un deuxième 2, ce qui implique également qu'il y a au moins 3 2, donc au minimum 2 3. Dans la colonne de gauche, on a donc déjà, au minimum

1 fois 0
... fois 1
3 fois 2
2 fois 3
... fois 4
... fois 5
... fois 6
2 fois 7
1 fois 8
1 fois 9

et un total des "..." de 20 ou 21 dont déjà 1 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 7 = 17. On a donc forcément un seul 6, un seul 5 et un seul 4, sinon on dépasse 21. Donc le deuxième 7 correspond au nombre de 1 (solution que Chaudak avait proposé en posant son énigme.

DEBUT

Entre DEBUT et FIN, il y a 1 fois le chiffre 0.
Entre DEBUT et FIN, il y a 7 fois le chiffre 1.
Entre DEBUT et FIN, il y a 3 fois le chiffre 2.
Entre DEBUT et FIN, il y a 2 fois le chiffre 3.
Entre DEBUT et FIN, il y a 1 fois le chiffre 4.
Entre DEBUT et FIN, il y a 1 fois le chiffre 5.
Entre DEBUT et FIN, il y a 1 fois le chiffre 6.
Entre DEBUT et FIN, il y a 2 fois le chiffre 7.
Entre DEBUT et FIN, il y a 1 fois le chiffre 8.
Entre DEBUT et FIN, il y a 1 fois le chiffre 9.

FIN

Comme il ne peut pas y avoir 0 fois 7 ni 3 fois ou plus le nombre 7, c'est la seule solution avec 2 fois 7. Les autres solutions sont forcément avec 1 7.

---

Avec le même raisonnement, on trouve qu'il ne peut pas y avoir 2 6

---

Si on part sur la grille

1 fois 0
X fois 1
X fois 2
X fois 3
X fois 4
X fois 5
1 fois 6
1 fois 7
1 fois 8
1 fois 9

si on essaye de compléter avec 2 5, on doit avoir 3 2, 2 3 et 6 1 au minimum. Or on sait que les chiffres de 6 à 9 ne sont présents qu'une seule et unique fois. Peut-il y avoir 4 2 et 1 3? Avec le même raisonnement, on voit qu'il y aurait forcément 7 1 au minimum, ce qui n'est pas possible puisqu'on a vu que les chiffres 7 8 ou 9 n'apparaissent qu'une seule fois.

Donc il n'y a pas non plus de solution avec 2 5.

[ Dernière modification par pingu1 le 27 fév 2009 à 17h28 ]

En fait, en recoupant ma démo et celle de Wretched, on montre que :

1 fois 0
7 ou 11 fois 1
... fois 2
... fois 3
... fois 4
... fois 5
... fois 6
... fois 7
1 fois 8
1 fois 9

y'a 2 cas à traîter : 7 et 11
Le cas 7 donne qu'on a 3 slots de dispo pour une somme de 7 donc 2+2+3 et on ne trouve qu'une seule solution (sur les 3 possibilités à traiter)
Le cas 11 donne qu'il resque qu'un slot pour une somme de 2 ... on trouve qu'une solution ...

donc y'a exactement deux solutions :
(1 11 2 1 1 1 1 1 1 1 1)
(1 7 3 2 1 1 1 2 1 1)

Bravo à pingu1 et The Wretched !

Dans le même style :

---

soit (a,b,c,d,e,f,g,h,i) une permutation de (1,2,3,4,5,6,7,8,9) On note un nombre compris entre 10 et 99 ab. Par exemple 27 s'écrit a=2 et b=7 ... Le but du problème est de trouver toutes les solutions de : a/bc+d/ef+g/hi = 1 ... J'arrive en souffrant à trouver par tatonnement une solution, j'ai l'impression qu'elle est unique, mais c'est pas évident à le démontrer.

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[ Dernière modification par chaudakh le 27 fév 2009 à 18h15 ]

Les solutions avec 2 7 :
Si on a 2 7, on a forcément 7 X. Ce X est forcément 1 (les autres ne peuvent pas dépasser 6).
Donc, 7 1 et 2 7. Si on a 2 7, on a forcément 2 2 minimum, donc 3 2 (vu que 2 2 impossible), donc 2 3. Donc si on a 2 7, on a forcément (1+7+3+2+1+1+1+2+1+1) 20 chiffres. C'est la seule solution avec 2 7 (on est obligé d'avoir au moins cette suite, si on augmente ces chiffres, on dépasse la limite de 20).

Pour les autres solutions, on a donc 5 ou 6 1 (vu qu'il n'y a pas deux 7, donc pas 7 1)
Donc il y a soit 2 5, soit 2 6, mais pas les deux. Le nombre de 2 est minimum égal à 2, donc 3 2(toujours, 2 2 pas possible si il y a 2 X a coté), donc 2 3 minimum. De plus, on a soit "1 5", soit "1 6", donc le nombre de 1 est 6 minimum et exactement (un dans l'énoncé, +1 0, + 1 (5ou6), +1 7, +1 8, +1 9). Donc un seul 5 et 2 6.

On a :
- un 0
- six 1
- de trois à six 2
- de deux à quatre 3
- de un à quatre 4
- un 5
- deux 6
- un 7
- un 8
- un 9

vu que certaines lignes ne peuvent pas avoir 2 dans les "..." (à savoir 0, 1, 2, 5, 7, 8 et 9), il y a maximum 4 2 (donc 3 ou 4).
Il y a également minimum 2 4 (sinon le nombre de 1 serait égal à 7)

- un 0
- six 1
- de trois à quatre 2
- de deux à quatre 3
- de deux à quatre 4
- un 5
- deux 6
- un 7
- un 8
- un 9

total minimum : 20. On n'a plus de "points" à placer. Malheureusement on n'a pas deux 4, c'est donc faux.

Il n'y a que 2 solutions.

[edit] Grilled par chaudakh
[edit] et pingu1...

[ Dernière modification par TheWretched le 27 fév 2009 à 18h12 ]

Il n'y a que 2 solutions.

En fait, c'est déjà un petit miracle qu'il y ait une solution .... alors deux ... !

En gros j'me suis cassé un neurone alors qu'on avait toutes les solutions au début...

Euh, ça marche comment déjà une matrice ( j'ai séché le seul d'il y a 2 ans qui en parlait succinctement...) ?

Sinon, j'ai pas compris un traître mot de ce vous racontez... Un résumé ? vous cherchez quoi en fait ?

En gros j'me suis cassé un neurone alors qu'on avait toutes les solutions au début...

A la nuance près qu'au début, on ne savait pas que c'était les seules solutions .... Maintenant oui !

Sinon, j'ai pas compris un traître mot de ce vous racontez... Un résumé ? vous cherchez quoi en fait ?

On cherche rien, on a trouvé ....
On a résolu le problème :

Compléter les espaces (...) par des entiers (écrits en base décimale, et les écritures comme 03 pour 3 ne sont pas admises ... pour les malins ^^) pour que toutes les affirmations soient vraies. L'idéal serait de trouver toutes les solutions (j'en connais 2 mais est ce les seules ?).

DEBUT

Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 0.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 1.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 2.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 3.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 4.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 5.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 6.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 7.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 8.
Entre DEBUT et FIN, il y a ... fois le chiffre 9.

FIN

[ Dernière modification par chaudakh le 27 fév 2009 à 19h05 ]

Oki ! De mon côté, j'ai quand même essayé sans regarder les réponses, et j'en arrive aux mêmes conclusions. (mais vous êtes pas obligés de me croire hein !) Mais ya pas une astuce mathématique pour le prouver ? Parce que, sur le papier, je le fais par l'absurde et le tâtonnement... mais c'est pas très rigoureux !

Plus j'ai de gardiens, moins je suis gardé.
Moins j'ai de gardiens, plus je suis gardé.

Qui suis-je?

Le 28/02/2009, Aes_Sedai avait écrit ...

Plus j'ai de gardiens, moins je suis gardé.
Moins j'ai de gardiens, plus je suis gardé.

Qui suis-je?

Une inflammation des bourses ?